English

Сложная динамика нелинейных механических
и радиофизических систем и ее приложения

Грант Российского научного фонда 15-12-20035

 

Проект выполняется в
Удмуртском государственном университете (Ижевск)
в 2015-2017 гг.
с продлением на 2018-2019 гг.


Руководитель проекта:

Кузнецов Сергей Петрович

 

Основные исполнители:

Борисов Алексей Владимирович

Килин Александр Александрович

Мамаев Иван Сергеевич

Цыганов Андрей Владимирович

Участники проекта:

Артемова Елизавета Марковна

Бизяев Иван Алексеевич

Ветчанин Евгений Владимирович

Ердакова Надежда Николаевна

Иванова Татьяна Борисовна

Казаков Алексей Олегович

Караваев Юрий Леонидович

Клековкин Антон Владимирович

Круглов Вячеслав Павлович

Пивоварова Елена Николаевна

Сатаев Игорь Рустамович

Основные результаты 2015 года

Построены новые примеры систем с грубым хаосом на основе связанных ротаторов или осцилляторов, реализующие динамику Аносова, и модификации этих систем автоколебательного типа. Разработаны их математические модели, включая описание в терминах геодезических потоков на двумерном многообразии отрицательной кривизны, и проведено численное исследование. Показано, что хаотическая динамика введенных в рассмотрение автоколебательных систем ассоциируется с гиперболическими аттракторами, и, следовательно, является грубой, по крайней мере, при относительно небольшой надкритичности автоколебательного режима.

Предложены схемотехнические решения электронных устройств, соответствующих уравнениям двумерной задачи о динамике пластины в жидкости при нулевой плавучести, постоянной циркуляции вокруг профиля, и приложенном вращающем моменте, и продемонстрирована их хаотическая динамика.

Для описания движения тела эллиптического профиля в жидкости с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений предложена методология, основанная на сочетании феноменологического подхода, постулирующего вид уравнений, и выработанных в современной нелинейной динамике приемов реконструкции моделей по реализациям, в качестве которых используются результаты численного решения двумерной задачи для уравнения Навье-Стокса.

Для управляемого движения произвольного двумерного тела в идеальной жидкости при постоянной циркуляции вокруг тела показано, что посредством изменения положения внутренней массы и вращения внутреннего ротора можно добиться перемещения тела в окрестность заданной точки пространства.

Развита теория возбуждения акустических колебаний и волн в резонаторных и периодических структурах, где в качестве возбуждаемого акустического поля рассматривается поле скоростей, а в качестве источников — завихренность в потоке. Для двумерных задач сформулированы уравнения возбуждения акустических колебаний в форме, аналогичной уравнениям возбуждения электродинамических резонаторов и периодических структур в электронике сверхвысоких частот, а для трехмерного случая получены уравнения, повторяющие электродинамическую теорию по общей структуре. На этой основе рассмотрены задачи о неустойчивости при взаимодействии вихрей с периодическими структурами.

Сформулирована и исследована неголономная модель волчка в поле тяжести, являющаяся обобщением классической неголономной задачи Суслова. В динамике волчка Суслова обнаружены консервативный хаос, странные аттракторы, промежуточный тип хаоса – смешанная динамика, а также выявлены и изучены новые для этого объекта эффекты реверса и переворота оси вращения.

Для задач о материальной точке, совершающей движение в потенциальном поле в трехмерном евклидовом пространстве при наличии неголономных связей, в частности, для неголономного осциллятора и системы Гейзенберга, методом приводящего множителя Чаплыгина получено конформно-гамильтоново представление с приведением к рассмотрению частицы в потенциальном поле на плоскости или сфере. Для задачи с неголономной связью Блэкола указана невозможность гамильтонизации.

Установлено, что неголономная модель волчка Чаплыгина демонстрирует сценарии перехода к хаосу и разрушение квазипериодического движения, типичные для диссипативной динамики, включая переход через удвоения периода по Фейгенбауму и удвоения торов. В определенных областях параметров для волчка Чаплыгина показана возможность реализации характерных «метасценариев» эволюции сосуществующих аттракторов (то есть совокупностей бифуркационных событий, содержащих в качестве своих этапов типичные сценарии перехода к хаосу), в том числе с возникновением «восьмерочного» аттрактора и специфического кольцевого гетероклинического аттрактора.

Публикации по проекту 2015 г.

           Borisov A.V., Mamaev I.S. Symmetries and reduction in nonholonomic mechanics //Regular and Chaotic Dynamics, 2015, 20, №5, 553-604.

           Bizyaev I.A., Borisov A.V., Kazakov A.O. Dynamics of the Suslov problem in a gravitational field: Reversal and strange attractors //Regular and Chaotic Dynamics, 2015, 20, №5, 605-626.

           Kuznetsov S.P. Hyperbolic Chaos in Self-oscillating Systems Based on Mechanical Triple Linkage: Testing Absence of Tangencies of Stable and Unstable Manifolds for Phase Trajectories //Regular and Chaotic Dynamics, 20, 2015, No 6, 649–666.

           Tsiganov A.V. On Integrable Perturbations of Some Nonholonomic Systems //Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 11, 2015, 085.

           Кузнецов С.П. К вопросу о правомерности неголономной модели динамики кельтского камня //УФН, 185, 2015, №12, 1342-1344.

           Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Аналогия в задачах о взаимодействии электронных и гидродинамических потоков с полями резонаторов и периодических структур. Часть 1 //Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 23, 2015, №5, 5-40.

Основные результаты 2016 года

Впервые разработан и апробирован применительно к системам с запаздыванием метод компьютерного тестирования гиперболической природы хаотических аттракторов, основанный на вычислении углов между расширяющими, сжимающими и нейтральными многообразиями для фазовых траекторий («критерий углов»). Представлено обоснование гиперболической природы хаоса для предложенных ранее примеров систем с запаздыванием.

Предложен ряд систем на основе взаимодействующих ротаторов, воспроизводящих на аттракторе динамику геодезического потока на поверхности отрицательной кривизны. На этой основе построена радиофизическая схема генератора грубого хаоса, где в качестве электронного эквивалента индивидуального ротатора выступает элемент в виде цепочки фазовой автоподстройки частоты.

Методика реконструкции системы обыкновенных дифференциальных уравнений на основе обработки временных рядов, полученных при численном решении задачи на базе уравнений Навье – Стокса, успешно апробирована для приближенного описания плоской задачи о движении тела эллиптического профиля в несжимаемой вязкой жидкости под действием силы тяжести.

С использованием подхода к анализу взаимодействия вихревых потоков с акустическими полями резонаторов и периодических структур по аналогии с электродинамикой рассмотрена задача о взаимодействии плоской ленты вихрей с периодической структурой типа «гребенки». Получено дисперсионное уравнение задачи и указаны конструкции гидродинамических устройств, являющихся аналогами приборов СВЧ электроники со скрещенными полями.

Для системы двух точечных вихрей в гидродинамическом потоке при возбуждении внешним акустическим воздействием описаны бифуркации седлоузла, суперкритическая и субкритическая обратимые бифуркации вил, в том числе бифуркации потери симметрии, приводящие к появлению и трансформации устойчивых регулярных режимов.

Для задачи о движении тела с подвижными внутренними массами и внутренним ротором в идеальной несжимаемой жидкости доказана управляемость для различных комбинаций управляющих элементов. Для случая нулевой циркуляции скорости жидкости вокруг тела построены явные управления (гейты), обеспечивающие поворот и направленное движение. Показано, что тело можно перевести из любого начального в любое конечное положение с помощью движения двух внутренних материальных точек по окружностям одинакового радиуса, а также с помощью вращения внутреннего ротора, сопровождаемого возвратно-поступательными движениями внутренней массы или движениями одиночной внутренней массы по окружности.

Указано схемотехническое решение и проведено сравнительное исследование в рамках численных расчетов и моделирования с использованием пакета Multisim параметрического генератора на основе реактивного элемента имеющего в точности квадратичную нелинейную характеристику. Последнее обстоятельство позволяет использовать схему для аналогового моделирования движения тела эллиптического профиля в сопротивляющейся среде в условиях нулевой плавучести.

Описан новый феномен нелинейной динамики – странные нехаотические автоколебания. Примером служит автономная система, построенная из дисков с фрикционной передачей, приводимых в движение постоянным приложенным моментом, где реализуется странный нехаотический аттрактор. До сих пор такие аттракторы рассматривались только в неавтономных системах с квазипериодическим внешним воздействием.

Для динамически несимметричного шара, совершающего движение на горизонтальной плоскости, с наложенной неголономной связью, обнаружены сценарий перехода к хаосу, связанный с разрушением инвариантной кривой через бифуркацию Неймарка-Сакера, и сценарий бифуркаций удвоения периода по Фейгенбауму. Аттракторы в сохраняющей механическую энергию неголономной модели возникают благодаря наличию в пространстве состояний областей сжатия наряду с областями расширения фазового объема.

Для саней Чаплыгина на плоскости, совершающих движение в присутствии слабой вязкой силы сопротивления под действием периодических импульсов зависящего от пространственной ориентации вращающего момента, получено отображение, описывающее эволюцию состояний в дискретном времени. Продемонстрированы, обсуждены и классифицированы динамические режимы, в том числе регулярные движения и блуждания диффузионного типа, отвечающие, соответственно, регулярным и хаотическим аттракторам выведенного трехмерного отображения.

Предложен новый метод построения преобразований Бэклунда уравнения Гамильтона-Якоби и получены явные формулы для интегрируемых в квадратурах систем на гиперэллиптических кривых первого и второго рода. Рассмотрен вопрос о применимости математических методов гамильтоновой динамики к конформно-гамильтоновым векторным полям, проанализировано несколько примеров таких полей, возникших в теории управления, и открыта возможность ввести новый признак классификации подобных систем.

Публикации по проекту 2016 г.

           Kuznetsov S.P., Kruglov V.P. Verification of hyperbolicity for attractors of some mechanical systems with chaotic dynamics //Regular and Chaotic Dynamics, 21, 2016, No 2, 160–174.

           Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P. Numerical test for hyperbolicity of chaotic dynamics in time-delay systems. //Phys. Rev. E, 94, 2016, No 1, 010201(R). (Preprint.)

           Jalnine A.Yu., Kuznetsov S.P. Strange nonchaotic self-oscillator //Europhysics Letters, 115, No 3, 2016, 30004. (Preprint.)

           Bizyaev I.A., Borisov A.V., Mamaev I.S. The Hojman Construction and Hamiltonization of Nonholonomic Systems //Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 12, 2016, 012.

           Vetchanin E.V., Kazakov A.O. Bifurcations and Chaos in the Dynamics of Two Point Vortices in an Acoustic Wave //International Journal of Bifurcation and Chaos, 26, 2016, No 4, 1650063.

           Grigoryev Yu.A., Sozonov A.P., Tsiganov A.V. Integrability of Nonholonomic Heisenberg Type Systems //Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 12, 2016, 112.

           Borisov A.V., Kuznetsov S.P. Regular and Chaotic Motions of a Chaplygin Sleigh under Periodic Pulsed Torque Impacts. //Regular and Chaotic Dynamics, 21, 2016, No 7-8, 792–803.

           Borisov A.V., Kazakov A.O., Sataev I.R. Spiral Chaos in the Nonholonomic Model of a Chaplygin Top //Regular and Chaotic Dynamics, 21, 2016, No 7-8, 939–954.

           Borisov A.V., Kazakov A.O., Pivovarova E.N. Regular and Chaotic Dynamics in the Rubber Model of a Chaplygin Top //Regular and Chaotic Dynamics, 21, 2016, No 7-8, 885–901.

           Цыганов А.В. Об одном семействе преобразований Бэклунда //Доклады Академии наук, 468, 2016, No 4, 380–382.

           Кузнецов С.П. Гиперболический хаос в автоколебательных системах на основе тройного шарнирного механизма: Проверка отсутствия касаний устойчивых и неустойчивых многообразий фазовых траекторий //Нелинейная динамика, 2016, 12, №1, 121-143.

           Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Седова Ю.В. Маятниковая система с бесконечным числом состояний равновесия и квазипериодической динамикой //Нелинейная динамика, 2016, 12, №2, 223–234.

           Сатаев И.Р., Казаков А.О. Сценарии перехода к хаосу в неголономной модели волчка Чаплыгина //Нелинейная динамика, 2016, 12, №2, 121-143.

           Бизяев И.А., Борисов А.В., Казаков А.О. Динамика задачи Суслова в поле тяжести: реверс и странные аттракторы //Нелинейная динамика, 2016, 12, №2, 263-287.

           Борисов А.В., Кузнецов С.П., Мамаев И.С., Тененев В.А. Описание движения тела эллиптического сечения в вязкой несжимаемой жидкости с помощью модельных уравнений, реконструированных на основе обработки данных //Письма в ЖТФ, 2016, 42, №17, 9-19.

           Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Аналогия в задачах о взаимодействии электронных и гидродинамических потоков с полями резонаторов и периодических структур. Часть 2. Самовозбуждение, усиление и подавление сигнала //Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 24, 2016, №2, 5-26.

           Кузнецов С.П. Аттрактор типа Лоренца в электронном параметрическом генераторе и его трансформация при нарушении точных условий параметрического резонанса //Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 24, 2016, №3, 68-87.

           Кузнецов С.П. От динамики Аносова на поверхности отрицательной кривизны к электронному генератору грубого хаоса // Известия Саратовского университета - Новая серия. Серия Физика, 16, 2016, №3, 131–144.

           Ветчанин Е.В., Килин А.А. Управляемое движение твердого тела с внутренними механизмами в идеальной несжимаемой жидкости //Труды Математического института имени В.А. Стеклова, 2016, 295, 321–351.

           Kuznetsov S.P., Borisov A.V., Mamaev I.S., Tenenev V.A. Reconstruction of model equations to the problem of the body of elliptic cross-section falling in a viscous fluid // VI International Conference GDIS 2016. Book of Abstracts. Moscow – Izhevsk: Institute of Computer Science, 2016. ISBN 978-5-4344-0361-0. P.39-40.

           Sataev I.R., Kazakov A.O. Routes to chaos in the nonholonomic model of Chaplygin top // VI International Conference GDIS 2016. Book of Abstracts. Moscow – Izhevsk: Institute of Computer Science, 2016. P.53-54.

           Кузнецов С.П. Гиперболическая динамика физических систем. // Международная конференция “Системы Аносова и современная динамика”, посвященная 80-летию со дня рождения Д.В. Аносова, Москва, 19–23 декабря 2016 г. Тезисы докладов. М.: Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, 2016. С.68-71.

           Grigoryev Yu.A., Sozonov A.P., Tsiganov A.V. On integrable perturbations of the Brockett nonholonomic integrator //Preprint: arXiv:1603.03528 [nlin.SI], 2016, 1-14.

Основные результаты 2017 года

Разработана методика компьютерного тестирования гиперболической природы аттракторов для систем, имеющих произвольное число цепей обратной связи с различными временами задержки, и с ее помощью впервые представлено обоснование гиперболической природы хаоса для предложенных ранее систем с двумя запаздываниями.

Введено в рассмотрение двумерное отображение, которое для систем неголономной механики с сохранением энергии может претендовать на роль обобщенной модели, аналогичной стандартному отображению Чирикова – Тейлора консервативной гамильтоновой динамики. Отображение получено в аналитическом виде для конкретной задачи о санях Чаплыгина, когда неголономная связь периодически переключается между тремя опорами саней. На фазовой плоскости отображения присутствуют «хаотическое море» и «острова», образованные инвариантными кривыми, как в консервативной нелинейной динамике, а также аттракторы и репеллеры, как в диссипативной динамике, в областях превалирующего сжатия или растяжения фазового объема.

Для саней Чаплыгина, совершающих движение на плоскости и несущих колеблющуюся внутреннюю массу, показана возможность неограниченного разгона в условиях малых колебаний, причем продольная скорость саней асимптотически пропорциональна времени в степени 1/3. В других областях параметров осуществляются периодические, квазипериодические и хаотические движения с ограниченным изменением скорости, соответствующие аттракторам в фазовом пространстве. При наличии слабого трения разгон при малых колебаниях внутренней массы приводит к стабилизации достигаемой скорости движения на определенном уровне. Альтернативный механизм разгона в присутствии трения обусловлен эффектом параметрической раскачки колебаний. Разгон неограничен, если линия колебаний движущейся массы проходит через центр масс. При нарушении последнего условия разгон ограничен, и установившийся режим во многих случаях ассоциируется с хаотическим аттрактором, а движение саней оказывается подобным процессу случайного блуждания. Результаты для саней Чаплыгина можно отнести также к колесным экипажам, поскольку наложенная неголономная связь эквивалентна той, которая реализуется заменой элемента связи в виде «конька» на колесную пару при свободном скольжении остальных опор.

Для саней Чаплыгина, движущихся в присутствии слабого трения, указаны и исследованы два механизма разгона, обусловленного колебаниями внутренней массы. Механизм, реализующийся при малых колебаниях внутренней массы, модифицируется при наличии трения так, что скорость, достигаемая в процессе разгона, стабилизируется на определенном уровне. Второй механизм обусловлен эффектом параметрической раскачки колебаний, когда осциллирующая частица сравнима по массе или даже превышает массу основной платформы, причем для реализации разгона обязательно необходимо наличие трения. Параметрическая неустойчивость и связанный с ней разгон саней оказываются ограниченными, если линия колебаний движущейся массы смещена от центра масс платформы. Установившийся режим движения во многих случаях ассоциируется с хаотическим аттрактором; соответственно, движение саней оказывается подобным процессу случайного блуждания на плоскости. Результаты для саней Чаплыгина можно отнести также к колесным экипажам, поскольку соответствующая неголономная связь эквивалентна той, которая реализуется заменой элемента связи в виде «конька» на колесную пару при свободном скольжении остальных опор.

Предложена новая механическая система с гиперболическим аттрактором на основе связанных маятников Фруда, возбуждающихся благодаря приложенному постоянному вращающему моменту и попеременно тормозимых периодическим включением силы трения. При соответствующем задании параметров аттрактор стробоскопического отображения Пуанкаре представляет собой соленоид Смейла – Вильямса, характеризуемый четырехкратным увеличением числа витков на каждом шаге отображения. Это может служить примером для построения нового класса систем различной природы с гиперболическим хаосом и квазипериодической динамикой, на основе подсистем, передача колебательного возбуждения между которыми осуществляется резонансным образом благодаря различию частот малых и больших колебаний в целое число раз.

Введен в рассмотрение новый пример механической системы со связями, где реализуется гиперхаос, характеризуемый наличием двух положительных показателей Ляпунова, который представляет собой плоский шарнирный механизм из четырех кривошипов, свободное движение которого интерпретируется как геодезический поток на компактном трехмерном римановом многообразии с кривизной.

Накоплен объем материала в виде массивов числовых данных, полученных путем численного решения двумерной задачи о движения тела эллиптического профиля под действием силы тяжести в несжимаемой вязкой жидкости с использованием уравнений Навье – Стокса для различных отношений длин главных осей и коэффициентов вязкости. На основе этого материала посредством методики, в основе которой лежит идея реконструкции конечномерной модели посредством обработки наблюдаемых реализаций с привлечением инструментария теории динамических систем, получены обыкновенные дифференциальные уравнения, отвечающие различным режимам движения. Построены реализации траекторий, воспроизводящие результаты исходного численного моделирования, а также карты режимов системы реконструированных уравнений, где представлены области регулярных и хаотических движений автоколебательного и авторотационного типа.

Сформулированы уравнения плоской задачи о движении тела в вязкой жидкости при наличии заданного перемещения внутренних масс в рамах модели Козлова, где взаимодействие тела с окружающей средой учитывается введением присоединенных масс и вязкого трения, имеющего разные коэффициенты для продольного и поперечного движения. В численных расчетах продемонстрирована возможность поддержания в среднем однонаправленного движения тела в условиях нулевой плавучести, причем эффект сохраняется в предельном случае большой вязкости, если продольные и поперечные коэффициенты трения существенно отличаются. Также, при определенном выборе параметров обнаруживаются хаотические движения, ассоциирующиеся со странными аттракторами и характеризуемые присутствием положительного показателя Ляпунова.

Для системы уравнений движения двух точечных вихрей в потоке, обладающем постоянной равномерной завихренностью в присутствии воздействия со стороны заданного внешнего волнового поля, показана возможность регулярных и хаотических режимов, отвечающих простым и хаотическим аттракторам. Исследованы бифуркации неподвижных точек отображения Пуанкаре, приводящие к появлению различных режимов, и показано, что характерным сценарием перехода к хаосу является каскад бифуркаций удвоения периода.

Для несимметричного неуравновешенного шара (волчка Чаплыгина), найдены и исследованы хаотические режимы качения в поле тяжести по плоскости без проскальзывания, соответствующие гомоклиническим странным аттракторам дискретного спирального типа (дискретные аттракторы типа Шильникова) для соответствующего трехмерного отображения Пуанкаре, не имеющего в общем случае гладкой инвариантной меры. Также выявлены хаотические режимы и аттракторы различного типа для волчка Чаплыгина с неголономной связью, обеспечивающей отсутствие кручения и проскальзывания в точке контакта. Проведен сравнительный анализ динамических свойств обеих моделей. Показано, что динамика системы в абсолютном пространстве и поведение точки контакта при наличии странных аттракторов существенно зависит от характеристик аттрактора и может иметь характер как хаотический, так и близкий к квазипериодическому поведению.

Для волчка в виде усеченного шара в предположении отсутствия скольжения и вращения тела вокруг вертикали в точке контакта («резиновая» модель неголономной связи) все движения можно разделить на три типа: качение в рамках дисковой модели, качение в рамках модели шара, и качение с периодическим переходом между этими двумя моделями. Хотя в рамках «резиновой» модели переходы между этими тремя типами во время движения не реализуются, они становятся возможными при включении сил трения. В этом случае система проявляет такие динамические эффекты, как ретроградный поворот диска или опрокидывание волчка.

Для волчка в виде усеченного шара в предположении отсутствия скольжения и вращения тела вокруг вертикали в точке контакта («резиновая» модель неголономной связи) все движения можно разделить на три типа: качение в рамках дисковой модели, качение в рамках модели шара, и качение с периодическим переходом между этими двумя моделями. Хотя в рамках «резиновой» модели переходы между этими тремя типами во время движения не имеют места, они становятся возможными при включении сил трения. В этом случае система проявляет такие динамические эффекты, как ретроградный поворот диска или опрокидывание волчка. Показано, что в общем случае, даже при движении с изменением модели, траектории волчка на плоскости ограничены.

Имея в виду выработку количественных характеристик поступательного движения мобильных систем в ситуациях, когда динамика редуцированных уравнений (для обобщенных скоростей) является регулярной или хаотической, рассмотрен ряд модельных задач о движение саней Чаплыгина. Для количественной характеристики поступательного движения в ситуациях хаотической и регулярной динамики в пространстве обобщенных скоростей вводятся такие величины как средняя скорость, средняя угловая скорость, коэффициент диффузии, коэффициент диффузии по углу, которые были найдены численно для модельных задач в зависимости от параметра интенсивности внешнего периодического воздействия. Для ситуации, когда хаотическая динамика приводит к изотропному случайному движению типа двумерного случайного блуждания в лабораторной системе координат, реализуется асимптотическое распределение Рэлея для пройденной дистанции и равномерное распределение для азимутальных углов.

Доказано, что криптографические протоколы, основанные на арифметике дивизоров, являются каноническими преобразованиями различных валентностей, сохраняющими форму уравнений Гамильтона-Якоби, т.е. авто-преобразованиями Бэклунда. Показано, что «криптограммы», которые являются новыми каноническими переменными на фазовом пространстве, можно эффективно использовать для построения интегрируемых обобщений известных систем и построения новых интегрируемых систем с интегралами движения старших степеней в рамках метода Якоби. Построены примеры новых гамильтоновых интегрируемых систем с интегралами движения шестой, четвертой и третьей степени по импульсам на плоскости, сфере и эллипсоиде.

Публикации по проекту 2017 г.

           Kuznetsov S.P. Regular and chaotic motions of the Chaplygin sleigh with periodically switched location of nonholonomic constraint. //Europhysics Letters, 118, No 1, 2017, 10007. (Preprint.)

           Bizyaev I.A., Borisov A.V., Kuznetsov S.P. Chaplygin sleigh with periodically oscillating internal mass. //Europhysics Letters, 119, No 6, 2017, 60008.

           Jalnine A.Yu., Kuznetsov S.P. Autonomous Strange Nonchaotic Oscillations in a System of Mechanical Rotators //Regular and Chaotic Dynamics, 22, 2017, No 3, 210–225.

           Kilin A.A., Pivovarova E.N. The Rolling Motion of a Truncated Ball Without Slipping and Spinning on a Plane //Regular and Chaotic Dynamics, 22, 2017, No 3, 298-317.

           Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P. Numerical test for hyperbolicity in chaotic systems with multiple time delays //Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2018, 56, 227-239. (Preprint.)

           Kuznetsov S.P. Chaos in three coupled rotators: From Anosov dynamics to hyperbolic attractors. // Indian Academy of Sciences Conference Series, 2017, 1, No 1, 117-132.

           Kuznetsov S.P. Regular and Chaotic Dynamics of a Chaplygin Sleigh due to Periodic Switch of the Nonholonomic Constraint. //Regular and Chaotic Dynamics, 2018, 23, No 2, 178–192.

           Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О., Козлов А.Д. Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор. Часть 1. Псевдогиперболические аттракторы. //Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 25, 2017, №2, 4-36.

           Жалнин А.Ю., Кузнецов С.П. Странные нехаотические автоколебания в системе механических ротаторов //Нелинейная динамика, 2017, 13, №2, 257-275.

           Борисов А. В., Казаков А. О., Пивоварова Е. Н. Регулярная и хаотическая динамика в «резиновой» модели волчка Чаплыгина //Нелинейная динамика, 2017, 13, №2, 277-297.

           Кузнецов С.П., Круглов В.П. О некоторых простых примерах механических систем с гиперболическим хаосом. //Труды Математического института имени В.А. Стеклова, 297, 232–259. (Препринт.)

           Kuznetsov S.P. Complex dynamics of Chaplygin sleigh due to periodic switch of the nonholonomic constraint location //The International Scientific Workshop "Recent Advances in Hamiltonian and Nonholonomic Dynamics" (Moscow, Dolgoprudny, Russia, 15-18 June 2017). Book of Abstracts. Moscow – Izhevsk: Institute of Computer Science, 2017. ISBN 978-5-4344-0445-7. P.53-56.

           Kuznetsov S.P. Design principles and illustrations of hyperbolic chaos in mechanical and electronic systems. Proceedings of the International Symposium "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics" (Moscow – St. Petersburg, Russia, 22 – 28 July, 2017). Institute of Applied Physics of RAS, Nizhny Novgorod, 2017. P.44.

           Жалнин А.Ю., Кузнецов С.П. Странные нехаотичесие автоколебания. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XII Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2017, c.61-62.

           Круглов В.П., Кузнецов С.П. Проверка гиперболичности хаотических аттракторов модельных механических систем. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XII Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2017, c.125-126.

           Кузнецов С.П. Сложная динамика механических систем. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XII Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2017, c.133-135.

           Купцов П.В., Кузнецов С.П. Ляпуновский анализ гиперболического хаоса в системах с несколькими запаздываниями. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XII Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2017, c.146-147.

Основные результаты 2018 года

Разработана модель управляемого сферического робота с осесимметричным маятниковым приводом, снабженного системой обратной связи, подавляющей нескомпенсированные колебания маятника на конечной стадии движения. Согласно предложенному подходу, обратная связь зависит от фазовых переменных и не зависит от типа траектории. Результаты экспериментальных исследований подтвердили возможность использования предложенных контроллеров для стабилизации движения, и продемонстрировали их эффективность.

Проведено исследование качения динамически несимметричного неуравновешенного шара (волчка Чаплыгина) по горизонтальной плоскости под действием периодического гиростатического момента в рамках модели резинового тела, то есть при условии отсутствия проскальзывания и верчения в точке контакта. Показано, что при определенных значениях параметров системы и зависимости гиростатического момента от времени наблюдается разгон системы, то есть неограниченный рост ее энергии. Проанализирована зависимость наличия разгона от параметров системы и начальных условий. На базе исследований динамики замороженной системы высказана гипотеза об общем механизме ускорения за счет периодических воздействий в неголономных системах.

Сформулирована математическая модель неголономной механической многокомпонентной системы в виде платформы, скользящей по двумерной поверхности, так что в фиксированной точке платформы запрещено движение поперек определенного направления, при наличии масс, совершающих заданное движение относительно платформы, что отвечает обобщению модели саней Чаплыгина. Для движения в присутствии слабого продольного трения при малых колебаниях одиночной внутренней массы показано, что разгон в среднем прямолинейного движения саней стабилизируется на определенном уровне достигаемой скорости. При параметрической раскачке колебаний, когда масса, совершающая осцилляции, сравнима с массой основной платформы, нарастание кинетической энергии саней оказывается ограниченным, если линия колебаний движущейся массы смещена от центра масс. Установившийся режим при этом может отвечать хаотическому аттрактору, при этом движение саней в лабораторной системе отсчета носит характер двумерного случайного блуждания. Наличие хаотических аттракторов для мобильной системы с подвижной внутренней массой делает возможным применение управления посредством методик контроля хаоса в условиях движений диффузионного типа, которое в силу чувствительности хаоса к малым возмущениям, может осуществляться сколь угодно малым целенаправленным воздействием.

Сопоставление динамики неголономной модели саней Чаплыгина и ее модификации при добавлении продольного вязкого трения показывает, что при этом радикально меняется характер движений в областях квазиконсервативного поведения, вместо которого реализуется мультистабильность, выражающаяся в сосуществовании множества притягивающих циклов в пространстве состояний. С другой стороны, в области параметров, где имеют место фрактальные аттракторы, введение диссипации сопровождается лишь количественными изменениями характеристик хаоса без существенного изменения структуры аттракторов.

В качестве нового подхода к проблеме создания мобильных устройств, совершающих движение в объеме или на поверхности жидкости за счет перемещения внутренних масс, предложена идея отправляться от неголономной модели саней Чаплыгина с заменой неголономной связи в точке ее приложения сильным вязким трением в направлении поперечном к разрешенному направлению движения. На основе численного моделирования выявлены основные типы динамического поведения и показано, что в пространстве параметров неголономной модели и системы с вязким трением расположение областей регулярной и хаотической динамики аналогично, как и бифуркационные сценарии, ведущие к возникновению хаоса. Показано, что эффект ускорения движения платформы при малых колебаниях внутренней массы в области малых скоростей сохраняется, но нарастание скорости имеет тенденцию к насыщению. Показано, что при замене неголономной связи вязким трением фрактальные хаотические аттракторы с незначительными изменениями продолжает существовать, а «толстые аттракторы», отвечающие квазиконсервативной динамике, разрушается с формированием множества сосуществующих регулярных аттракторов в виде притягивающих циклов. Показано, что движения платформы в виде двумерного случайного блуждания, обусловленные странными аттракторами, в системе с вязким трением сохраняются, но характеризуются меньшей величиной коэффициента диффузии в сравнении с неголономной моделью. Эффект параметрического резонанса, который в неголономной модели может вести к неограниченному росту кинетической энергии платформы, в системе с вязким трением характеризуется насыщением параметрической неустойчивости, так что установившаяся средняя скорость перемещения платформы относительно среды оказывается ограниченной.

Исследованы модельные системы в виде ротаторов с наложенной связью, заданной условием нулевой суммы косинусов углов поворота. Система из трех ротаторов, которая отвечает геодезическому потоку на двумерной поверхности Шварца, демонстрирует хаос, характеризуемый наличием одного положительного показателя Ляпунова, а системы из четырех и пяти ротаторов, которые ассоциируются с геодезическими потоками на трехмерном и четырехмерном многообразиях с кривизной, обладают, соответственно, двумя и тремя положительными показателями («гиперхаос»). Реализован алгоритм, позволяющий вычислять секционную кривизну многообразия при численном моделировании динамики в точках траектории. В отличие от случая трех ротаторов, где кривизна многообразия отрицательна (кроме конечного числа точек) и реализуется поток Аносова, т.е. динамика гиперболического типа, в случае четырех и пяти ротаторов условие отрицательной секционной кривизны не выполнено, геодезические потоки нельзя отнести к классу систем Аносова, и динамика негиперболическая.

Для моделей связанных автоколебательных элементов в виде связанных осцилляторов, амплитудных уравнений, и уравнений, линеаризованных по отклонению модуля амплитуды от предельного цикла, динамические феномены соотносятся с моделью на основе фазовых осцилляторов Топажа – Пиковского подобно тому, как это имеет место для систем неголономной механики и их аналогов при учете трения. Соответствие динамического поведения с моделью Топажа – Пиковского прослеживается на конечных временах наблюдения, а в смысле асимптотических режимов может сильно отличаться. В частности, квазиконсервативная динамика разрушается, и вместо «хаотического моря» и регулярных циклических движений возникает мультистабильность – сосуществование множества притягивающих циклов.

Развит подход, позволяющий численными расчетами верифицировать для конкретных систем наличие или отсутствие псевдогиперболической динамики по Шильникову и Тураеву, и состоящий в проверке для траекторий на аттракторе отсутствия касаний между подпространствами векторов возмущений, в одном из которых должно реализоваться локальное расширение объема, а во втором сжатие. Введены новые показатели, являющиеся модификациями показателей Ляпунова, и ассоциирующиеся с ними ляпуновские векторы. Методика апробирована на классических аттракторах Лоренца и Ресслера, первый из которых относится к категории псевдогиперболических, а второй нет. Подтверждена псевдогиперболическая природа аттракторов, реализующихся при определенном выборе параметров, в трехмерном отображении Эно и в системе обыкновенных дифференциальных уравнений, представляющей собой четырехмерное обобщение модели Лоренца.

Впервые представлен допускающий физическую реализацию пример системы с запаздыванием, где присутствует псевдогиперболический аттрактор, что подтверждено на уровне численных расчетов по методике анализа углов пересечения для подпространств векторов возмущения, растягивающих и сжимающих фазовый объем. С применением инструментария нелинейной динамики, включающего построение реализаций, фазовых портретов аттракторов в двумерной проекции, анализа спектров и показателей Ляпунова, продемонстрирована близкая аналогия аттрактора предложенной системы с классическим аттрактором Лоренца.

Для модели механической колебательной системы в виде двух связанных маятников Фруда, возбуждающихся благодаря приложенному вращающему моменту в присутствии падающего участка зависимости силы трения от угловой скорости и попеременно тормозимых периодическим приложением силы трения, показана возможность реализации разнообразных динамических режимов, сопровождающихся колебаниями маятников или же присутствием ротаций. В их числе периодические режимы, представленные притягивающими предельными циклами, квазипериодические режимы, отвечающие притягивающим инвариантным торам, странные аттракторы с одним и двумя положительными показателями Ляпунова (хаос и гиперхаос). Проведена проверка гиперболичности хаотических аттракторов с помощью анализа распределения углов пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий путем обработки численных результатов для типичных траекторий, и показано, что в зависимости от параметров хаотические аттракторы системы могут быть как негиперболическими (наличие касаний многообразий), так и гиперболическими (отсутствие касаний). Гиперболический хаос реализуется в ситуации, когда передача колебательного возбуждения между подсистемами осуществляется резонансным образом благодаря различию частот малых и больших колебаний в два раза. В этом режиме аттрактор в сечении Пуанкаре представляет собой соленоид Смейла – Вильямса и характеризуется структурной устойчивостью, то есть сохраняется при малой вариации параметров.

В качестве примера построения n-точечных конечно-разностных уравнений для интегрируемых систем рассмотрена дискретизация волчка Эйлера. Показано, как дивизоры пересечения эллиптических и гиперэллиптических кривых с прямыми, квадриками и кубиками порождают семейства интегрируемых дискретных отображений. Рассмотрены преобразования Бэклунда для волчка Лагранжа и системы Эно-Эйлеса. Доказано, что умножение дивизоров кривых на скаляр, используемые в современной криптографии, порождают преобразования, сохраняющие формы интегралов движения и скобки Пуассона с точностью до скалярного множителя. С привлечением метода Коркина – Горячева – Бобылева – Стеклова проведено исследование нескольких классов систем с не потенциальными силами с периодическими траекториями, что позволило построить четыре семейства суперинтегрируемых систем на плоскости, допускающих разделение переменных в декартовой системе координат.

Публикации по проекту 2018 г.

           Bizyaev I.A., Borisov A.V., Kuznetsov S.P. The Chaplygin sleigh with friction moving due to periodic oscillations of an internal mass //Nonlinear Dynamics, 2019, 95, iss.1, 699–714. (Preprint.)

           Kruglov V.P., Kuznetsov S.P. Hyperbolic chaos in a system of two Froude pendulums with alternating periodic braking //Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2019, 67, 152-161. (Preprint.)

           Tsiganov A.V. Backlund transformations and divisor doubling //Journal of Geometry and Physics, 2018, 126, 148-158. (Preprint.)

           Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P. Lyapunov analysis of strange pseudohyperbolic attractors: angles between tangent subspaces, local volume expansion and contraction //Regular and Chaotic Dynamics, 23, 2018, Nos 7-8, 908–932.

           Borisov A.V., Kuznetsov S.P. Comparing Dynamics Initiated by an Attached Oscillating Particle for the Nonholonomic Model of a Chaplygin Sleigh and for a Model with Strong Transverse and Weak Longitudinal Viscous Friction Applied at a Fixed Point on the Body. //Regular and Chaotic Dynamics, 23, 2018, Nos 7-8, 803–820.

           Ivanova T.B., Kilin A.A., Pivovarova E.N. Controlled Motion of a Spherical Robot with Feedback. I //Journal of Dynamical and Control Systems, 2018, 24, 497–510.

           Tsiganov A.V. On Discretization of the Euler Top //Regular and Chaotic Dynamics, 23, 2018, No 6, 785-796.

           Kilin A.A., Pivovarova E.N. Chaplygin Top with a Periodic Gyrostatic Moment //Russian Journal of Mathematical Physics, 25, 2018, No 4, pp.517–532.

           Кузнецов С.П., Купцов П.В. Аттрактор Лоренца в системе с запаздыванием: пример псевдогиперболического хаоса // Известия Саратовского университета - Новая серия. Серия Физика, 16, 2018, вып. 3, 162-176.

           Кузнецов С.П. Хаос и гиперхаос геодезических потоков на многообразиях с кривизной, отвечающих механически связанным ротаторам: примеры и численное исследование // Вестник Удмуртского университета. Математика. механика. компьютерные науки, 28, 2018, вып. 4, 565-581. (English translation.)

           Kruglov V.P., Kuznetsov S.P. Smale-Williams attractor in a system of alternately oscillating coupled Froude pendulums // VII International Conference GDIS 2018. Book of Abstracts. Moscow – Izhevsk: Institute of Computer Science, 2018. ISBN 978-5-4344-0520-1. P.56-58.

           Kuznetsov S.P., Bizyaev I.A., Borisov A.V. Self-acceleration of Chaplygin sleigh // VII International Conference GDIS 2018. Book of Abstracts. Moscow – Izhevsk: Institute of Computer Science, 2018. P.65-67.

           Кузнецов С.П. Сани Чаплыгина. Материалы XVII зимней школы-семинара по радиофизике и электронике сверхвысоких частот, 5–10 февраля 2018, Саратов. Саратов: ООО “Издательский центр “Наука”. C.34-35.

           Круглов В.П., Кузнецов С.П. Аттрактор Смейла – Вильямса в системе связанных маятников Фруда с попеременным торможением. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XIII Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2018, c.141-142.

           Дорошенко В.М., Круглов В.П., Кузнецов С.П. Гиперболический хаос в связанных автоколебательных системах, функционирующих с возбуждением релаксационных автоколебаний. Волновые явления в неоднородных средах. Сборник трудов XVI Всероссийской школы-семинара имени А.П. Сухорукова. Нелинейная динамика и информационные системы. Красновидово, Моск. обл., 2018, c.13-16.

Основные результаты 2019 года

Показана возможность реализации хаоса, обусловленного присутствием грубого гиперболического аттрактора, в кольцевой цепочке связанных маятников Капицы с диссипацией, когда частота вертикальных колебаний подвеса периодически переключается так, что обеспечивается попеременное параметрическое возбуждение одной или другой колебательной моды. Возникновение аттрактора в виде соленоида Смейла – Вильямса обусловлено тем, что для образующихся на кольцевой цепочке стоячих волн пространственная фаза за период модуляции накачки трансформируется в соответствии с растягивающим отображением окружности.

           Borisov A.V., Ivanova T.B., Kilin A.A., Mamaev I.S. Nonholonomic rolling of a ball on the surface of a rotating cone //Nonlinear Dynamics, 2019, 97, No 2, pp.1635-1648.

           Кузнецов С.П. Хаотическая динамика кольцевой цепочки маятников с вибрирующим подвесом //Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 2019, 27, вып.4, c.99-113.

           Kuznetsov S.P., Sedova Yu.V. Robust hyperbolic chaos in Froude pendulum with delayed feedback and periodic braking //International Journal of Bifurcation and Chaos, 29, 2019, iss. 12, http://dx.doi.org/10.1142/S0218127419300350. (Preprint.)

           Борисов А.В., Килин А.А., Пивоварова Е.Н. Разгон волчка Чаплыгина при помощи роторов //Доклады Академии наук, 485, 2019, No 3, 285–289.

           Tsiganov A.V. Hamiltonization and Separation of Variables for a Chaplygin Ball on a Rotating Plane //Regular and Chaotic Dynamics, 24, 2019, No 2, 171–186.

           Borisov A.V., Kilin A.A., Mamaev I.S. A Parabolic Chaplygin Pendulum and a Paul Trap: Nonintegrability, Stability, and Boundedness //Regular and Chaotic Dynamics, 24, 2019, No 3, 329–352.

           Bizyaev I.A., Borisov A.V., Mamaev I.S. Different Models of Rolling for a Robot Ball on a Plane as a Generalization of the Chaplygin Ball Problem //Regular and Chaotic Dynamics, 24, 2019, No 5, 560-582.

           Bizyaev I.A., Borisov A.V., Kozlov V.V., Mamaev I.S. Fermi-like acceleration and power-law energy growth in nonholonomic systems //Nonlinearity, 32, 2019, No 9, 3209–3233.

           Kuznetsov S.P., Kruglov V.P. Dynamics of Phases and Chaos in Models of Locally Coupled Conservative or Dissipative Oscillators. International Conference " Scientific Heritage of S.A. Chaplygin. Nonholonomic Mechanics, Vortex Structures and Hydrodynamics" (Cheboksary, Russia, 2–6 June 2019). Preprint nlin. arXiv: 1906.10451.

           Kuznetsov S.P. Complex Dynamics in Generalizations of the Chaplygin Sleigh. International Conference " Scientific Heritage of S.A. Chaplygin. Nonholonomic Mechanics, Vortex Structures and Hydrodynamics" (Cheboksary, Russia, 2–6 June 2019). Preprint nlin. arXiv: 1909.01130.

           Kuznetsov S.P. Some Lattice Models with Hyperbolic Chaotic Attractors. International Conference " Scientific Heritage of S.A. Chaplygin. Nonholonomic Mechanics, Vortex Structures and Hydrodynamics" (Cheboksary, Russia, 2–6 June 2019). Preprint nlin. arXiv: 1909.01896.

           Kuznetsov S.P., Kruglov V.P., Sedova Yu.V. Mechanical Systems with Hyperbolic Chaotic Attractors Based on Froude Pendulums. International Conference " Scientific Heritage of S.A. Chaplygin. Nonholonomic Mechanics, Vortex Structures and Hydrodynamics" (Cheboksary, Russia, 2–6 June 2019). Preprint nlin. arXiv: 1909.01155.

           Круглов В.П., Кузнецов С.П. Инволюция Топажа – Пиковского и асимптотические траектории в решетке локально связанных консервативных осцилляторов. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XIV Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2019, c.125-126.

           Кузнецов С.П. Гиперболический хаос в решеточных моделях. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XIV Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2019, c.131-132.

           Кузнецов С.П., Седова Ю.В. Гиперболический хаос в автоколебательной системе с нелинейностью типа синуса и запаздывающей обратной связью. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XIV Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2019, c.229-230.

           Круглов В.П., Кузнецов С.П. Цепочка локально связанных консервативных осцилляторов с инволюцией Топажа – Пиковского. Тезисы докладов XII школы-конференции "Хаотические автоколебания и образование структур" (ХАОС-2019). Саратов: ООО “Изд. центр “Наука”, c.59.

           Седова Ю.В., Кузнецов С.П., Круглов В.П. Грубый гиперболический хаос в системах на основе маятника Фруда. Тезисы докладов XII школы-конференции "Хаотические автоколебания и образование структур" (ХАОС-2019). Саратов: ООО “Изд. центр “Наука”, c.95.